Question

在極坐標系中，曲線E：ρsin²θ=2cosθ，過點A（5，α）（α為銳角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直線l，且l與曲線E分別交于B，C兩點．
（1）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標相同單位長度，建立平面直角坐標系，寫出曲線E與直線l的普通方程；
（2）求BC的長．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=x-1 y2=2x

，利用弦長公式|BC|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出．

解答： 解：（1）∵曲線E：ρsin²θ=2cosθ，∴ρ²sin²θ=2ρcosθ，∴y²=2x．
∵點A（5，α），α為銳角且tanα=

3

4

，
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

．
∴x=5cosα=4，y=5sinα=3．
∴A（4，3），
由θ=

π

4

（ρ∈R）的直線l，可得：tanθ=1．
∴直線l的方程為：y-3=x-4，化為y=x-1．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=x-1 y2=2x

，化為x²-4x+1=0．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴|BC|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(42-4)

=2

6

．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，屬于中檔題．