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19.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1和x=1時取得極值,且f(-2)=4.
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的極值;
(3)若關于x的方程f(x)-a=0在實數(shù)集R上只有一個解,求a的取值范圍.

分析 (1)三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值,說明方程f′(x)=0的兩個根為1和-1,求出a與b,再代入f(-2)=4,求出c值;
(2)由(1)求出f(x)的解析式,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出極值;
(3)畫出函數(shù)f(x)的圖象,結合圖象求出a的范圍即可.

解答 解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1和x=1時取得極值,且f(-2)=4,
{3+2a+b=032a+b=08+4a2b+c=4,解得:a=1,b=-3,c=6,
∴f(x)=x3-3x+6;
(2)由(1)得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f′(x)>0,解得:x>1或x<-1,令f′(x)<0,解得:-1<x<1,
∴f(x)在(-∞,-1)遞增,在(-1,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
∴f(x)在[-3,-1)遞增,在(-1,1)遞減,在(1,3]遞增,
∴函數(shù)f(x)的極大值是:f(-1)=8,極小值是:f(1)=4;
(3)結合(2)畫出f(x)的圖象,如圖示:
,
若關于x的方程f(x)-a=0在實數(shù)集R上只有一個解,
即函數(shù)y=f(x)和y=a有1個交點,
結合圖象:a<4或a>8.

點評 此題主要考查函數(shù)在某點的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及掌握不等式的解法.這是高考必考的考點.

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