Question

已知橢圓G：的離心率為，且右頂點(diǎn)為A（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e==，右頂點(diǎn)為A（2，0），能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx=2．由方程組，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．由方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，解得|k|＞．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=．因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由此能夠求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C的離心率e==，右頂點(diǎn)為A（2，0），
∴a=2，c=，b=1．
所以橢圓的方程為．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx=2．
由方程組，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．①…（6分）
因?yàn)榉匠挞儆袃蓚�(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
所以△=（16k）²-4（4k²+1）×12＞0，
解得|k|＞．…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=．②
因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以 ，=0，即有x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．③
將②代入③得，
所以12（k²+1）-2×16k²+4（4k²+1）=0，
解得k=±2．…（13分）
滿足|k|＞，
所求直線l的方程為y=±2x+2．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和直線方程的求法，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意解題能力的培養(yǎng)．