已知圓M：(+)2+y2=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足,.

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等(即)?若存在，求出直線的方程；若不存在。說明理由。

解：(1)由

得Q為PN的中點且GQ⊥PN，所以GQ為PN的中垂線．

因此|PG|=|GN|，從而|GN| + |GM|=|MP|=6，

故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長=3，半焦距，

所以短半軸長b=2，所以點G的軌跡方程是．

    (2)因為，所以四邊形OASB為平行四邊形．

    若存在直線使得，則四邊形OASB為矩形，所以．

    若直線的斜率不存在，直線的方程為=2，

    由，得

    所以，這與矛盾，

    故直線的斜率存在．

    設直線的方程為y=k(－2)，A(1，yl)、B(2，y2)，

    由得

    (9k2+4) 2－36k2+36(k2―1)=0．

所以，①

故②

把式①、②代入，解得．

∴存在直線：3－2y－6=0或3+2y－6=0

使得四邊形OASB的對角線相等．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)一模）已知圓M：（x-
2
）2+y2=r2（r＞0）．若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點為圓M的圓心，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若存在直線l：y=kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M:(x-)2+y2=,若橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點為圓M的圓心,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)已知直線l:y=kx,若直線l與橢圓C分別交于A,B兩點,與圓M分別交于G,H兩點(其中點G在線段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M:(x-)2+y2=,若橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點為圓M的圓心,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)已知直線l:y=kx,若直線l與橢圓C分別交于A,B兩點,與圓M分別交于G,H兩點(其中點G在線段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M：(+)2+y2=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足，=0．

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等(即)?若存在，求出直線的方程；若不存在．說明理由．

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