Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上的最小值為-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0則-x＞0，運(yùn)用已知x＞0的解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可得x＜0的解析式，進(jìn)而得到m=2；
（2）求得f（-1）=-1，再求x＞0時(shí)，f（x）=-1，解得x=1+$\sqrt{2}$．畫(huà)出f（x）的圖象，由圖象可得a的不等式組，解不等式可得a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0則-x＞0，
由x＞0，f（x）=-x²+2x，
可得f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）為奇函數(shù)，
即有f（-x）=-f（x），
于是x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x=x²+mx，
可得m=2；                              
（2）由f（-1）=1-2=-1，
又x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x=-1，
可解得x=1+$\sqrt{2}$．
由于f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上的最小值為-1，
作出y=f（x）的圖象可得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以a∈（1，3+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求參數(shù)的值，注意運(yùn)用奇函數(shù)的定義，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的圖象，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．