Question

△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，2bsinB=（2a-

3

c）sinA+（2c-

3

a）sinC，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=2，AB=2

3

．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）求鈍角△ABD的中線AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，余弦定理，即可求B的大��；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理，結(jié)合中點(diǎn)向量的向量公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵2bsinB=（2a-

3

c）sinA+（2c-

3

a）sinC，
∴由正弦定理得2b²=（2a-

3

c）a+（2c-

3

a）c，
即b²=a²+c²-

3

ac，由余弦定理知，b²=a²+c²-2accosB，
即cosB=

3

2

，則B=30°；
（Ⅱ）由正弦定理得

AD

sin30°

=

AB

sin∠ADB

，
則sin∠ADB=

AB× 1 2

AD

=

3

2

，
∵AB＞AD，
∴∠ADB＞∠B，
即∠ADB=120°或60°，
∵△ABD為鈍角三角形，
∴∠ADB=120°，∠BAD=60°，
則

AE

=

1

2

（

AB

+

AD

），
即

AE

2=

1

4

（

AB

2+

AD

2+2

AB

•

AD

）=7，
即AE=

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查兩個(gè)定理的應(yīng)用．