Question

從1，2，3，…，9，10這10個(gè)整數(shù)中任意取3個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的系數(shù)，則滿足

f(1)

3

∈N的方法有

 

種．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，對a，b，c分情況，分別求得滿足條件的（a，b，c）的個(gè)數(shù)，相加即得所求．

解答： 解：由題意可得 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，
對1，2，3，…，9，10這10個(gè)整數(shù)分組，
①3，6，9；②1，4，7，10；③2，5，8
若a，b，c里面三個(gè)都是3的倍數(shù)，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有

A

3 3

=6個(gè)．
若a，b，c里面三個(gè)被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有

C

3 4

A

3 3

=24個(gè)．
若a，b，c里面三個(gè)被3除余數(shù)為2，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有

A

3 3

=6個(gè)．
若a，b，c里面有一個(gè)被3整除，有一個(gè)被3除余數(shù)為2，有一個(gè)被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，
此時(shí)（a，b，c）共有

C

1 3

C

1 4

C

1 3

A

3 3

=216個(gè)．
故滿足

f(1)

3

∈Z的（a，b，c）一共有252個(gè)，
故答案為：252．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，排列組合的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．