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8.已知函數(shù)f(x)=ax2+|x-2a|,其中a>0
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[0,+∞)上的最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-b在[0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍(用a表示).

分析 (1)求出a=1的f(x)的解析式,討論當(dāng)x≥2時(shí),當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間,即可得到所求最小值;
(2)由題意可得y=f(x)與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).求出f(x)的分段函數(shù),討論當(dāng)12a>2a,即0<a<12時(shí),當(dāng)12a≤2a,即a≥12時(shí),求出單調(diào)區(qū)間,可得最小值,即可得到所求范圍.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+|x-2|,
當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x2+x-2的對稱軸為x=-12,
可得f(x)遞增,即有x=2時(shí)取得最小值4;
當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)=x2+2-x的對稱軸為x=12,
可得f(x)在x=12時(shí)取得最小值74
綜上可得f(x)的最小值為74
(2)函數(shù)g(x)=f(x)-b在[0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),
即為ax2+|x-2a|=b,即y=f(x)與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
f(x)={ax2+x2ax2aax2x+2a0x2a,
當(dāng)12a>2a,即0<a<12時(shí),f(x)在(0,2a)遞減,(2a,+∞)遞增,
可得f(2a)取得最小值,且為4a3
即有4a3<b≤f(0)=2a,函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)12a≤2a,即a≥12時(shí),f(x)在(0,12a)遞減,(12a,2a)遞增,
(2a,+∞)遞增,可得f(12a)取得最小值,且為8a214a,
即有8a214a<b≤f(0)=2a,函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上可得,0<a<12時(shí),4a3<b≤2a,函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
a≥12時(shí),8a214a<b≤2a,函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最小值的求法,注意運(yùn)用去絕對值由二次函數(shù)的最值的求法,考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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