Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-1（a，b∈R且a＞0 ）有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則$\frac{a+1}$的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 由題意知，一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，得關于a，b的等式，再利用線性規(guī)劃的方法求出$\frac{a+1}$的取值范圍即可．

解答 解：設f（x）=ax²+bx-1=0，由題意得，f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-1）（4a+2b-1）＜0．且a＞0．
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1＜0}\\{4a+2b-1＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1＞0}\\{4a+2b-1＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，（不合題意舍去）
視a，b為變量，作出可行域如圖．

則$\frac{a+1}$的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點與（-1，0）的所在直線的斜率，
結合圖象直線過（-1，0），（0，2）時斜率最大，最大值是2，
最小值是0，
故答案為：（0，2）．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的運用，線性規(guī)劃為研究函數(shù)的最值或最優(yōu)解提供了新的方法，借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想、化歸思想．