Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$mx²-2（m∈R）．
（1）曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x-y+3=0垂直，求m的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+2≤mx²+（m-1）x-1恒成立，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m的方程，解出即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)$G（x）=lnx-\frac{1}{2}m{x^2}+（1-m）x+1$${G^'}（x）=\frac{1}{x}-mx+（1-m）$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出m的最小值即可．

解答 解：（1）${f^'}（x）=\frac{1}{x}+mx$
切線的斜率k=f′（1）=1+m
∴$1+m=-\frac{1}{2}$，
∴$m=-\frac{3}{2}$．
（2）由題意，$lnx-\frac{1}{2}m{x^2}+（1-m）x+1≤0$
設(shè)$G（x）=lnx-\frac{1}{2}m{x^2}+（1-m）x+1$${G^'}（x）=\frac{1}{x}-mx+（1-m）$
①當(dāng)m≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以G′（x）＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
$G（1）=ln1-\frac{1}{2}m×{1^2}+（1-m）+1=-\frac{3}{2}m+2＞0$
所以關(guān)于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，
②當(dāng)m＞0時(shí)，${G^'}（x）=\frac{{-m{x^2}+（1-m）x+1}}{x}=-\frac{{m（x-\frac{1}{m}）（x+1）}}{x}$
令G′（x）=0，因?yàn)閤＞0，得$x=\frac{1}{m}$，
所以當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{m}）$時(shí)，G′（x）＞0，當(dāng)$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$時(shí)，G′（x）＜0，
因此函數(shù)G（x）在$x∈（0，\frac{1}{m}）$是增函數(shù)，在$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$是減函數(shù)，
故函數(shù)G（x）的最大值為$G（\frac{1}{m}）=ln\frac{1}{m}-\frac{1}{2}m×{（\frac{1}{m}）^2}+（1-m）×\frac{1}{m}+1=\frac{1}{2m}-lnm$
令$h（m）=\frac{1}{2m}-lnm$，
因?yàn)閔（m）在m∈（0，+∞）上是減函數(shù)，
又因?yàn)?h（1）=\frac{1}{2}＞0$，$h（2）=\frac{1}{4}-ln2＜0$，
所以當(dāng)m≥2時(shí)，h（m）＜0．
所以整數(shù)m的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的斜率、考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道綜合題．