Question

4．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊長，若$A=\frac{π}{3}，b=2acosB，c=1$，則S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把已知等式化邊為角，求出B，可得三角形為等邊三角形，則面積可求．

解答 解：△ABC中，∵b=2acosB，
∴根據(jù)正弦定理，得sinB=2sinAcosB，
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴sinB=2sin$\frac{π}{3}$cosB，
即sinB=$\sqrt{3}$cosB，可得tanB=$\sqrt{3}$．
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
∵A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$，
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{3}$．
則a=b=c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題已知三角形的邊和角的關系式，求三角形的面積，著重考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系與三角形的面積求法等知識，屬于中檔題．