Question

11．已知直線l與雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于A，B兩點，且線段AB的中點為（2，1），則直線l的方程是y=8x-15．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，運用點差法，結合中點坐標公式和直線的斜率公式，由點斜式方程可得直線AB的方程，代入雙曲線的方程，由判別式的符號，即可得到判斷直線的存在性．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，
兩式相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，
M為AB的中點，即有x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
可得直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4×4}{2}$=8，
即有直線AB的方程為y-1=8（x-2），即為8x-y-15=0．
由y=8x-15代入雙曲線的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得60x²-240x+229=0，
即有△=240²-4×60×229=240×11＞0，故存在直線AB．
故答案為：y=8x-15．

點評 本題考查雙曲線的中點弦所在直線方程的求法，注意運用點差法，注意檢驗直線的方程的存在性，考查運算能力，屬于中檔題．