Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2^x}{a}+\frac{a}{2^x}-1\;\;\;（{a＞0}）$是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）解不等式$f（x）＜\frac{13}{4}$；
（3）若關(guān)于x的不等式mf（x）≥2^-x-m在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值即可；
（2）設(shè)2^x=t，則不等式即為${t^2}-\frac{17}{4}t+1＜0⇒\frac{1}{4}＜t＜4$，再解關(guān)于x的不等式即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為m≥$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$在（0，+∞）恒成立，設(shè)t=2^x，（t＞1），則m≥$\frac{1}{{t}^{2}+1}$在t＞1恒成立，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
∴f（-x）-f（x）=0恒成立，
∴$\frac{2^x}{a}+\frac{a}{2^2}=\frac{{{2^{-x}}}}{a}+\frac{a}{{{2^{-x}}}}$，恒成立，
即$（{\frac{1}{a}-a}）（{{2^x}-{2^{-x}}}）=0$恒成立，
$⇒\frac{1}{a}-a=0⇒a=±1$，
∵a＞0，∴a=1，∴a=1；
（2）由（1）知$f（x）={2^x}+{2^{-x}}＜\frac{17}{4}⇒{（{2^x}）^2}-\frac{17}{4}•{2^x}+1＜0$，
設(shè)2^x=t，則不等式即為${t^2}-\frac{17}{4}t+1＜0⇒\frac{1}{4}＜t＜4$，
∴$\frac{1}{4}＜{2^x}＜4⇒-2＜x＜2$，
所以原不等式解集為（-2，2）；
（3）f（x）=2^x+2^-x-1，
mf（x）≥2^-x-m，
即m≥$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$在（0，+∞）恒成立，
設(shè)t=2^x，（t＞1），則m≥$\frac{1}{{t}^{2}+1}$在t＞1恒成立，
故$m≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定和運(yùn)用，考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用和函數(shù)恒成立問題的解法，屬于中檔題．