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1.已知函數(shù)fx=2xa+a2x1a0是R上的偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)解不等式fx134
(3)若關(guān)于x的不等式mf(x)≥2-x-m在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值即可;
(2)設(shè)2x=t,則不等式即為t2174t+1014t4,再解關(guān)于x的不等式即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為m≥2x2x+2x在(0,+∞)恒成立,設(shè)t=2x,(t>1),則m≥1t2+1在t>1恒成立,從而求出m的范圍即可.

解答 解:(1)∵f(x)為偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x)恒成立,
∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
2xa+a22=2xa+a2x,恒成立,
1aa2x2x=0恒成立,
1aa=0a=±1,
∵a>0,∴a=1,∴a=1;
(2)由(1)知fx=2x+2x1742x21742x+10,
設(shè)2x=t,則不等式即為t2174t+1014t4,
142x42x2
所以原不等式解集為(-2,2);
(3)f(x)=2x+2-x-1,
mf(x)≥2-x-m,
即m≥2x2x+2x在(0,+∞)恒成立,
設(shè)t=2x,(t>1),則m≥1t2+1在t>1恒成立,
m12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定和運(yùn)用,考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用和函數(shù)恒成立問題的解法,屬于中檔題.

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