Question

不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A、（0，+∞）

B、（-∞，1]

C、[0，+∞）

D、[0，1）

Answer 1

分析：由x＞0，可得x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．令x+

1

x

=t≥2，則x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2=t2-2．于是不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0，對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t²-2）+t+11a＞0對(duì)于t∈[2，+∞）恒成立?a＞(

-t

t2+9

)max，t∈[2，+∞）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（t）=

-t

t2+9

，t∈[2，+∞）的單調(diào)性極值與最值即可．

解答：解：∵x＞0，∴x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
令x+

1

x

=t≥2，則x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2=t2-2．
∴不等式a(x2+

1

x2

)+x+

1

x

+11a＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t²-2）+t+11a＞0對(duì)于t∈[2，+∞）恒成立．
?a＞(

-t

t2+9

)max，t∈[2，+∞）．
令f（t）=

-t

t2+9

，t∈[2，+∞）．f′(t)=

-(t2+9)+2t2

(t2+9)2

=

t2-9

(t2+9)2

，
令f′（t）=0，解得t=0．
當(dāng)2≤t＜3時(shí)，f′（t）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)3＜t時(shí)，f′（t）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
f（2）=-

2

13

，而當(dāng)t→+∞時(shí)，f（t）→0，
∴a≥0．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、換元法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．