Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+4}$，則a_n=$\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+4}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4}{{a}_{n}}+3$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=4（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}+1=2≠0$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}+1=2×{4}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．