Question

8．已知函數(shù)f（x）的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（2）=1．
（1）求f（4）；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式 f（2x²-1）＜2．

Answer 1

分析 （1）把4分為2×2，令x₁=x₂=2，利用已知的等式化簡后，將f（2）=1代入計(jì)算即可求出值；
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，表示出f（x₁）-f（x₂），判斷其差為負(fù)即可得證；
（3）根據(jù)題意得到f（1）=f（-1）=0，得到f（x）=f（-x），將2變?yōu)閒（4），根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式，求出解集即可．

解答 （1）解：∵f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2；
（2）證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-（f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$））=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
由題可知$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解：由題可得f（1）=0，f（-1）=0，
∴f（x）=f（-x），
變形得：f（2x²-1）＜2=f（4），且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴0＜|2x²-1|＜4，
解得：-$\frac{\sqrt{10}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且x≠±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則不等式的解集為{x|-$\frac{\sqrt{10}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且x≠±$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，函數(shù)增減性的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，弄清題中規(guī)定的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．