對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù)。
(1)判斷函數(shù),x∈[-2,2]是否為閉函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)判斷函數(shù)y=x2-2kx+k+1,x∈[k,+∞)是否為閉函數(shù)?若是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
解:(1)函數(shù)在x∈[-2,2]上單調(diào)遞增,且f(-2)=-2,f(2)=2,所以是閉函數(shù)。
(2)函數(shù)在[k,+∞)上單調(diào)遞增,
所以,如果為閉函數(shù),則有,
即方程在[k,+∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根,
,得
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]⊆D,同時(shí)滿足:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當(dāng)定義域是[m,n]時(shí),f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)求證:函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”.
(2)已知:函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時(shí),求出n-m的最大值.
(3)易知,函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m,n]為它的“和諧區(qū)間”.試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù),并寫出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”.(不需證明,但不能用本題已討論過(guò)的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的“等值區(qū)間”.給出下列三個(gè)函數(shù):
f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否為閉函數(shù)?并說(shuō)明理由.

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(2012•崇明縣一模)定義:對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),如果存在t∈D,使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立,稱函數(shù)f(x)在D上是“T”函數(shù).已知下列函數(shù):
①f(x)=
1x
; 
②f(x)=log2(x2+2);
③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中屬于“T”函數(shù)的序號(hào)是
.(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),若同時(shí)滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)有單調(diào)性;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也為[a,b],則稱f(x)為D上的“和諧”函數(shù),[a,b]為函數(shù)f(x)的“和諧”區(qū)間.
(Ⅰ)求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否為“和諧”函數(shù)?并說(shuō)明理由.
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=
x+4
+m
是“和諧”函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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