【題目】已知函數(shù)f(x)=kex﹣x2(其中k∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若k<0,試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若k=2,當(dāng)x∈(0,+∞)時,試比較f(x)與2的大。
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),求k的取值范圍,并證明0<f(x1)<1.
【答案】解:(Ⅰ)由f′(x)=kex﹣2x可知,
當(dāng)k<0時,由于x∈(0,+∞),f′(x)=kex﹣2x<0,
故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(Ⅱ)當(dāng)k=2時,f(x)=2ex﹣x2,則f′(x)=2ex﹣2x,
令h(x)=2ex﹣2x,h′(x)=2ex﹣2,
由于x∈(0,+∞),故h′(x)=2ex﹣2>0,
于是h(x)=2ex﹣2x在(0,+∞)為增函數(shù),
所以h(x)=2ex﹣2x>h(0)=2>0,即f′(x)=2ex﹣2x>0在(0,+∞)恒成立,
從而f(x)=2ex﹣x2在(0,+∞)為增函數(shù),
故f(x)=2ex﹣x2>f(0)=2.
(Ⅲ)函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2,則x1,x2是f′(x)=kex﹣2x=0的兩個根,
即方程 有兩個根,設(shè) ,則 ,
當(dāng)x<0時,φ′(x)>0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增且φ(x)<0;
當(dāng)0<x<1時,φ′(x)>0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增且φ(x)>0;
當(dāng)x>1時,φ′(x)<0,函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減且φ(x)>0.
要使 有兩個根,只需 .
故實數(shù)k的取值范圍是 .
又由上可知函數(shù)f(x)的兩個極值點x1,x2滿足0<x1<1<x2,
由 ,得 ,
∴ ,
由于x1∈(0,1),故 ,
所以0<f(x1)<1.
【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f′(x),由于f′(x)<0,即得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,由單調(diào)性即可比較f(x)與2的大;(Ⅲ)先求導(dǎo)數(shù)f′(x),由題意知x1、x2是方程f′(x)=0的兩個根,令 ,利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間,繼而得到k的取值范圍,由f′(x1)=0,則得 ,又由f(x1)=﹣(x1﹣1)2+1,x1∈(0,1),即可得到0<f(x1)<1.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值(極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)療科研項目對5只實驗小白鼠體內(nèi)的A、B兩項指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析,得到的數(shù)據(jù)如下表:
指標(biāo) | 1號小白鼠 | 2號小白鼠 | 3號小白鼠 | 4號小白鼠 | 5號小白鼠 |
A | 5 | 7 | 6 | 9 | 8 |
B | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |
(1)若通過數(shù)據(jù)分析,得知A項指標(biāo)數(shù)據(jù)與B項指標(biāo)數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,試根據(jù)上表,求B項指標(biāo)數(shù)據(jù)y關(guān)于A項指標(biāo)數(shù)據(jù)x的線性回歸方程 = x+ ;
(2)現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只,求其中至少有一只B項指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率. 參考公式: = = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,曲線y=f(x)在點(e2 , f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若存在x0∈[e,+∞),使函數(shù)g(x)=aelnx+ lnxf(x)≤a成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,3)和B(6,0).
(Ⅰ)求線段AB垂直平分線的方程;
(Ⅱ)若曲線C上的任意一點P滿足2|PA|=|PB|,求曲線C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+n2﹣1,數(shù)列{bn}滿足3nbn+1=(n+1)an+1﹣nan , 且b1=3,a1=3.
(1)求數(shù)列{ an}和{bn}的通項an , bn;
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Tn , 并求滿足Tn<7時n的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x﹣2);當(dāng)0≤x≤1時,f(x)= ,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f等于( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有A、B、C、D、E五輛汽車,其中A、B兩輛汽車的車牌尾號均為1,C、D兩輛汽車的車牌尾號均為2,E車的車牌尾號為6.已知在非限行日,每輛車可能出車或不出車,A、B、E三輛汽車每天出車的概率均為 ,C、D兩輛汽車每天出車的概率均為 ,五輛汽車是否出車相互獨立,該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:
工作日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
限行車牌尾號 | 0和5 | 1和6 | 2和7 | 3和8 | 4和9 |
例如,星期一禁止車牌尾號為0和5的車輛通行.
(1)求該公司在星期一至少有2輛汽車出車的概率;
(2)設(shè)X表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f″(x)是y=f′(x)的導(dǎo)數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),任意一個三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有對稱中心(x0 , f(x0)),其中x0滿足f″(x0)=0.已知函數(shù)f(x)= x3﹣ x2+3x﹣ ,則f( )+f( )+f( )+…+f( )= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的一個焦點與拋物線 的焦點 重合,且點 到直線 的距離為 , 與 的公共弦長為 .
(1)求橢圓 的方程及點 的坐標(biāo);
(2)過點 的直線 與 交于 兩點,與 交于 兩點,求 的取值范圍.
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