Question

定長等于的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直線和上滑動(dòng)，線段AB中點(diǎn)M的軌跡為C；
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)（0，1）的直線l與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，問：在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使得不論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)，|AB|=2，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間距離公式可得軌跡C的方程；
（Ⅱ）若l不與y軸重合，設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓C的方程得x的二次方程，設(shè)P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），由向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理可把表示為t的式子，為使為定值，可求得t值，從而得到此時(shí)點(diǎn)T坐標(biāo)，當(dāng)l與y軸重合時(shí)易驗(yàn)證；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)，
則x₁+x₂=2x，，代入，
得軌跡C的方程為，即；
（Ⅱ）（1）若l不與y軸重合，設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
設(shè)P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
則，；
設(shè)點(diǎn)T（0，t），則=x₃•x₄+（kx₃+1-t）•（kx₄+1-t）
=
=
=，
使為定值，則 ，
解得，即對(duì)于點(diǎn)總有=；
（2）當(dāng)l與y軸重合時(shí)，P（0，3），Q（0，-3），對(duì)于點(diǎn)也有=，
故在y軸上存在定點(diǎn)使得為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容，考查學(xué)生的探究能力及解決問題的能力．