Question

甲、乙、丙、丁四個人進行傳球練習，每次球從一個人的手中傳入其余三個人中的任意一個人的手中．如果由甲開始作第1次傳球，經(jīng)過n次傳球后，球仍在甲手中的所有不同的傳球種數(shù)共有a_n種．
（如，第一次傳球模型分析得a₁=0．）
（1）求 a₂，a₃的值；
（2）寫出 a_n+1與 a_n的關(guān)系式（不必證明），并求 a_n=f（n）的解析式；
（3）求 的最大值．

Answer 1

解：（1）可畫出示意圖：

可得經(jīng)過兩次傳球回到甲手中的所有不同種數(shù)為3；經(jīng)過3次傳球回到甲手中的所有不同種數(shù)為6．
因此可得：得 a₂=3，a₃=6．
（2）依題意有 a₁=0，且 a_n+1+（n=1，2，3，…）．
將 a_n+1+變形為 ，
從而數(shù)列 {}是首項為，公比為-1的等比數(shù)列．
∴，可得 （n=1，2，3，…）．
（3）①當n是偶數(shù)時，
，為關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)
∴當n是偶數(shù)時，隨n的增大而減小，從而，當n是偶數(shù)時，的最大值是 ．
②當n是奇數(shù)時，
，為關(guān)于n的單調(diào)增減函數(shù)
∴當n是奇數(shù)時，隨n的增大而增大，且 ．
綜上，的最大值是 ．
分析：（1）通過畫圖，作出符合題意的示意圖，加以總結(jié)即可得到 a₂，a₃的值；
（2）計算前幾項，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a_n+1+（n=1，2，3，…）．利用待定系數(shù)法，得到數(shù)列 {}是首項為-，公比為-1的等比數(shù)列．最后借助于等比數(shù)列的通項公式，即可算出 a_n=f（n）的解析式；
（3）分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況，討論的單調(diào)性并結(jié)合不等式的性質(zhì)進行推理，即可得到當n=2時，為 的最大值．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)）的應用、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式，以及用等比數(shù)列知識解決相應的問題等知識點，屬于中檔題．