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3.已知函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x+1在區(qū)間(12,1)上是減函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)的最小值為-3,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)是二次函數(shù),且在對(duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反,由此求出a的取值范圍;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的最值,求出a的值,從而寫出f(x)的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,即可寫出切線方程.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x+1是二次函數(shù),且在區(qū)間121上是減函數(shù),
所以對(duì)稱軸x=a121,解得a≤-1;…(4分)
(2)函數(shù)y=f(x)的最小值為-3,所以4a124=3,
解得a=-3或a=5,
注意到a≤-1,所以取 a=-3;…(6分)
此時(shí)f(x)=x2-4x+1,f'(x)=2x-4,…(8分)
所以曲線在(1,f(1))處切線的斜率為k=f'(1)=2-4=-2,…(10分)
且f(1)=1-4+1=-2,
所以,所求切線的方程為y+2=-2(x-1),
即2x+y=0.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問(wèn)題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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