Question

3．已知各項為正的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，則$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，兩邊平方可得：S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用遞推關(guān)系可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由已知可得：a_n-a_n-1=2，利用等差數(shù)列的推通項公式可得a_n，進(jìn)而得到S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，
∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又${a}_{1}=2\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{4}（2n-1+1）^{2}$=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+16}{2n-1+3}$=$\frac{{n}^{2}+8}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-2≥$2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值為4．
故選：A．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．