(2013•保定一模)已知向量
a
=(sin(
ω
2
x
),
1
2
),
b
=(cos(
ω
2
x
),
1
2
),(ω>0,x≥0),函數(shù)f(x)=
a
b
的第n(n∈N*)個零點記作xn(從左向右依次計數(shù)),則所有xn組成數(shù)列{xn}.
(1)若ω=
1
2
,求x2;
(2)若函數(shù)f (x)的最小正周期為π,求數(shù)列{xn}的前100項和S100
分析:(1)若ω=
1
2
,可得函數(shù)f(x)=
a
b
的解析式,由f(x)=0,可得 sin
1
2
x
=-
1
2
 (x≥0),故有x=4kπ+
3
,或x=4kπ+
11π
3
,k∈z,由此可得第二個零點的值.
(2)由函數(shù)f (x)的最小正周期為π,求得ω=2,可得 函數(shù)f(x)=
1
2
sin2x+
1
4
.令f(x)=0,可得 sin2x=-
1
2
,故有x=kπ+
12
,或x=kπ+
11π
12
,k∈z.由此可得S100=
49
k=0
(kπ+
12
)
+
49
k=0
(kπ+
11π
12
)
=
49
k=0
(2kπ+
2
)
 運算求得結果.
解答:解:(1)若ω=
1
2
,則向量
a
=(sin
1
4
x
,
1
2
),
b
=(cos
1
4
x
,
1
2
),
函數(shù)f(x)=
a
b
=
1
2
sin
1
2
x
+
1
4

由f(x)=0,可得 sin
1
2
x
=-
1
2
 (x≥0),故有
1
2
x
=2kπ+
6
,或
1
2
x
=2kπ+
11π
6

∴x=4kπ+
3
,或x=4kπ+
11π
3
,k∈z.
自左向右第一個零點為 x=
3
,第二個零點為x=
11π
3
,即 x2=
11π
3

(2)∵函數(shù)f (x)的最小正周期為π,則ω=2,
∴函數(shù)f(x)=
a
b
=(sinx,
1
2
)•(cosx,
1
2
)=sinxcosx+
1
4
=
1
2
sin2x+
1
4

令f(x)=0,可得 sin2x=-
1
2
,∴2x=2kπ+
6
,或2x=2kπ+
11π
6
,k∈z.
即 x=kπ+
12
,或x=kπ+
11π
12
,k∈z.
∴S100=
49
k=0
(kπ+
12
)
+
49
k=0
(kπ+
11π
12
)
=
49
k=0
(2kπ+
2
)
=50×49π+50×
2
=2525π.
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算,函數(shù)的零點的定義和求法,三角函數(shù)的周期性,兩角和差的正弦公式,等差數(shù)列求和,屬于中檔題.
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π
4
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42
42

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2
3
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a
,
b
c
兩兩所成的角相等,且|
a
|=1,|
b
|=1,|
c
|=3
,則|
a
+
b
+
c
|
等于( 。

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