Question

16．設(shè)單位向量$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，對非零向量$\overrightarrow a={x_1}\overrightarrow{e_1}+{y_1}\overrightarrow{e_2}$、$\overrightarrow b={x_2}\overrightarrow{e_1}+{y_2}\overrightarrow{e_2}$有結(jié)論：
①若x₁y₂-x₂y₁=0，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
②若x₁x₂+y₁y₂=0，則$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$．
關(guān)于以上兩個結(jié)論，正確的判斷是（　�。�

• A． ①成立，②不成立
• B． ①不成立，②成立
• C． ①成立，②成立
• D． ①不成立，②不成立

Answer 1

分析 ①假設(shè)存在實數(shù)λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow$，則${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，由于向量$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，可得x₁=λx₂，y₁=λy₂，即可判斷出結(jié)論．
②若x₁x₂+y₁y₂=0，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x₁x₂+y₁y₂+（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，無法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正確．

解答 解：①假設(shè)存在實數(shù)λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow$，則${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，∵向量$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
滿足x₁y₂-x₂y₁=0，因此$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
②若x₁x₂+y₁y₂=0，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x₁x₂+y₁y₂+（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，無法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正確．
故選：A．

點評 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．