設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且數(shù)學(xué)公式，（n∈N*）．
（Ⅰ）試求a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想an的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解：（I）∵
∴n=1時，，∴a1=±1，∵a1＞0，∴a1=1
n=2時，，∴，∵a2＞0，∴
n=3時，，∴，∵a3＞0，∴，
（II）猜想
下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時，a1=1，滿足；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即，則當(dāng)n=k+1時，有
∴
解方程得，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立
由①②可知，猜想成立
分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計算，即可求得結(jié)論；
（II）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設(shè)．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項之和是bn，數(shù)列{bn}前n項之積是cn，且bn+cn=1，則數(shù)列{
1an
}中最接近108的項是第
10
10
項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=
1
2
(an+
1
an
)，（n∈N*）．
（Ⅰ）試求a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想an的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和是bn，數(shù)列{bn}的前n項之積是cn，且bn+cn=1（n∈N*），則{
1an
}的前10項之和等于
440
440
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•嘉定區(qū)一模）設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式Sn-1005＞
a
2
n
2
對一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請構(gòu)造一個與數(shù)列{Sn}有關(guān)的數(shù)列{un}，使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在，并求出這個極限值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項之和為bn，數(shù)列{bn}的前n項之和為cn，且bn+cn=1，則|c100-a100|=
1
1
．

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