如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點.
求證:(1)E,C,D1,F(xiàn)四點共面;
(2)CE,D1F,DA三線共點.
證明略
(1)如圖所示,連接CD1,EF,A1B,

∵E、F分別是AB和AA1的中點,
∴EF∥A1B且EF=A1B,
又∵A1D  BC,
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形,∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1,
∴EF與CD1確定一個平面,
∴E,F(xiàn),C,D1,
即E,C,D1,F(xiàn)四點共面.
(2)由(1)知EF∥CD1,且EF=CD1,
∴四邊形CD1FE是梯形,
∴CE與D1F必相交,設(shè)交點為P,
則P∈CE平面ABCD,
且P∈D1F平面A1ADD1,
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,
∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三線共點.
練習(xí)冊系列答案
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