Question

已知函數(shù)f(x)=

1

4

x4-

2

3

ax3-

3

2

x2+6ax，g(x)=

2

3

ax3．
（I）若a＞1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（II）h（x）=f（x）+g（x）有三個(gè)極值點(diǎn)?h′（x）=x³-3x+6a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)∅（x）=x³-3x+6a，通過研究∅′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）判斷函數(shù)∅（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步可求函數(shù)的極值，從而可求a的范圍

解答：解：（I）對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=x³-2ax²-3x+6a=(x-2a)(x+

3

)(x-

3

)
∵a＞1∴2a＞

3

令f′（x）＞0可得x＞2a或-

3

＜x＜

3

；f′（x）＜0可得x＜-

3

或

3

＜x＜2a
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(-

3

，

3

) ，(2a，+∞)，單調(diào)減區(qū)間(-∞，-

3

) ，(

3

，2a)
（II）h（x）=f（x）+g（x）=

1

4

x4-

3

2

x2+6ax有三個(gè)極值點(diǎn)
∴h′（x）=x³-3x+6a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
令∅（x）=x³-3x+6a，則∅′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
當(dāng)x＜-1時(shí)，∅′（x）＞0，∅（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增
當(dāng)-1＜x＜1，∅′（x）＜0，∅（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減
當(dāng)x＞1時(shí)，，∅′（x）＞0，∅（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
函數(shù)在x=-1時(shí)取得極大值6a+2，在x=1時(shí)取得極小值6a-2
∴

6a+2＞0 6a-2＜0

  解可得-

1

3

＜a＜

1

3

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值，而通過單調(diào)區(qū)間及極值的研究求解參數(shù)的取值范圍是導(dǎo)數(shù)部分的重要類型的試題