Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，定義：一條直線經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)（x，y），若x，y都是整數(shù)，就稱該直線為完美直線，這個(gè)點(diǎn)叫直線的完美點(diǎn)，若一條直線上沒有完美點(diǎn)，則就稱它為遺憾直線．現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：
①如果k，b都是無理數(shù)，那么直線y=kx+b一定是遺憾直線；
②“直線y=kx+b是完美直線”的充要條件是“k，b都是有理數(shù)”；
③存在恰有一個(gè)完美點(diǎn)的完美直線；
④完美直線l經(jīng)過無窮多個(gè)完美點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過兩個(gè)不同的完美點(diǎn)．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①②③可利用特殊法求解：如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$等；
④也可特殊處理使直線過原點(diǎn)，再證明即可．

解答 解：①②：如果k，b都是無理數(shù)，如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$，顯然過（1，0），是完美直線，故①②錯(cuò)誤；
③設(shè)直線方程為y=$\sqrt{2}$x，只經(jīng)過了一個(gè)完美點(diǎn)（0，0），所以③正確；
④設(shè)y=kx為過原點(diǎn)的完美直線，若此直線過不同的完美點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把兩點(diǎn)代入完美直線的方程得y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得y₁-y₂=k（x₁-x₂），則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直線y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也為完美點(diǎn)，通過這種方法得到直線經(jīng)過無窮多個(gè)完美點(diǎn)，所以④正確．
故答案為D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義類型的題型，難點(diǎn)是對(duì)定義的認(rèn)識(shí)和理解．