Question

已知正方形ABCD的中心在原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)f（x）=ax³+bx（a＞0）圖象上．若正方形ABCD唯一確定，則b的值為

-2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在的直線(xiàn)方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉(zhuǎn)化為二元方程只有唯一實(shí)數(shù)根，利用根的判別式求解即可．

解答：解：設(shè)正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在的直線(xiàn)方程為y=kx（k≠0），
則對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)方程為y=-

1

k

x．
由

y=kx y=ax3+bx

，解得x²=

k-b

a

，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）•

k-b

a

，
同理，BO²=[1+（-

1

k

）²]•

- 1 k -b

a

=

1+k2

k2

•

1 k +b

a

，
又因?yàn)锳O²=BO²，所以k³-k²b+

1

k

+b=0．（10分）
即k²+

1

k2

-b（k-

1

k

）=0，即（k-

1

k

）²-b（k-

1

k

）+2=0．
令k-

1

k

=t得t²-bt+2=0
因?yàn)檎�方形ABCD唯一確定，則對(duì)角線(xiàn)AC與BD唯一確定，于是k-

1

k

值唯一確定，
所以關(guān)于t的方程t²-bt+2=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又k-

1

k

=t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2

2

．（14分）
因?yàn)閤²=

k-b

a

＞0，a＞0，所以b＜k；又

- 1 k -b

a

＞0，所以b＜-

1

k

，故b＜0．
因此b=-2

2

；
反過(guò)來(lái)b=-2

2

時(shí)，t=-

2

，k-

1

k

=-

2

，
于是k=

- 2 + 6

2

，-

1

k

=

- 2 - 6

2

；或k=

- 2 - 6

2

，-

1

k

=

- 2 + 6

2

．
于是正方形ABCD唯一確定．（16分）
故答案為：-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的解析式的求法以及導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．