Question

若實數(shù)x，y滿足x²+y²-2x-2y+1=0，

x-2

y-4

的取值范圍為（　�。�

• A．(0，

  3

  4

  ]
• B．[

  4

  3

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  4

  3

  ]
• D．[-

  4

  3

  ，0)

Answer 1

分析：由題意，借助已知動點(diǎn)在圓上任意動，而所求式子形式可以聯(lián)想成在圓上動點(diǎn)P與定點(diǎn)A構(gòu)成的斜率，進(jìn)而求解．

解答：解：由題意，x²+y²-2x-2y+1=0即（x-1）²+（y-1）²=1表示圓心在（1，1）半徑為1的圓．
作出如下圖形：
令k=

y-4

x-2

，則k可看作圓上的動點(diǎn)P到定點(diǎn)A（2，4）的連線的斜率．設(shè)直線方程為：y-4=k（x-2），
化為直線一般式為：kx-y-2k+4=0，
利用直線與圓相切建立關(guān)于k的方程為：

|k-1-2k+4|

k2+1

=1⇒k=

4

3

而有題意及點(diǎn)P所在的位置圖可以知道斜率k臨界下時斜率為

4

3

，而由于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與圓在x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一樣，此時過點(diǎn)A與單位圓相切的直線的傾斜角為90°，所以斜率無最大值．
綜合可得，k≥

4

3

，
∴

x-2

y-4

的取值范圍為（0，

3

4

]．
故選A．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價轉(zhuǎn)化的思想．