Question

已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=e^x-kx，k為常數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若k≤1，證明：f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，對于f（x）+g（x）=e^x-kx，把x換上-x，便可得到：-f(x)+g(x)=

1

ex

+kx，兩式聯(lián)立即可解出f（x）=

ex

2

-

1

2ex

-kx；
（Ⅱ）求f′（x）=

(ex)2-2kex+1

2ex

，對于（e^x）²-2kx+1，令e^x=t（t＞0），便得到函數(shù)y=t²-2kt+1．若求該函數(shù)的判別式，容易發(fā)現(xiàn)需對k分成-1≤k≤1，和k＜-1兩種情況判斷y的符號，并需證明在這兩種情況下的y都大于等于0，從而便證出k≤1時，f（x）在R上為增函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件得：f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），-f（x）+g（x）=

1

ex

+kx；
∴由

f(x)+g(x)=ex-kx -f(x)+g(x)= 1 ex +kx

得，f（x）=

ex

2

-

1

2ex

-kx；
（Ⅱ）證明：f′（x）=

(ex)2-2kex+1

2ex

；
對于（e^x）²-2ke^x+1，設(shè)e^x=t（t＞0），y=t²-2kt+1；
①當(dāng)-1≤k≤1時，△=4（k²-1）≤0；
∴y≥0，即f′（x）≥0；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
②當(dāng)k＜-1時，函數(shù)y=t²-2kt+1，t＞0，的對稱軸為x=k，則：
該函數(shù)在[0，+∞）為增函數(shù)，且t=0時，y=1＞0；
∴對于任意的t＞0，y＞0；
即對于任意的x∈R，f′（x）＞0；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
綜合①②得若k≤1，f（x）在R上為增函數(shù)．

點評：考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，二次函數(shù)取值情況和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性．