Question

16．在△ABC中，E、F分別是AC，AB的中點，且3AB=2AC，則$\frac{BE}{CF}$的取值范圍為$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，利用中線長定理可得：${c}^{2}+{a}^{2}=2B{E}^{2}+\frac{^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，由于3c=2b．可得$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7}{9}^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，利用三角形三邊大小關(guān)系可得：a＜b+c，且a+c＞b，即可得出．

解答 解：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，
∵E、F分別是AC，AB的中點，
∴${c}^{2}+{a}^{2}=2B{E}^{2}+\frac{^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，
∵3AB=2AC，即3c=2b．
∴2BE²=${a}^{2}-\frac{^{2}}{18}$，
2CF²=a²+$\frac{7}{9}^{2}$．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7}{9}^{2}}$=$\frac{18-（\frac{a}）^{2}}{18+14（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，
∵a＜b+c，且a+c＞b，
∴$\frac{a}$＞$\frac{3}{5}$，且$\frac{a}$＜3．
∴$\frac{9}{25}$＜$（\frac{a}）^{2}$＜9．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$∈$（\frac{1}{16}，\frac{49}{64}）$．
∴$\frac{BE}{CF}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．
故答案為：$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

點評 本題考查了余弦定理、中線長定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．