Question

已知定點F（1，0），動點P（異于原點）在y軸上運動，連接FP，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且

PM

•

PF

=0，|

PN

|=|

PM

|．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）若直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=-4且4

6

≤|AB|≤4

30

，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出動點N，則M，P的坐標可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的關(guān)系式，即N的軌跡方程．
（2）設出直線l的方程，A，B的坐標，根據(jù)

OA

•

OB

=-4，推斷出x₁x₂+y₁y₂=-4進而求得y₁y₂的值，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x求得y₁y₂的表達式，進而氣的b和k的關(guān)系式，利用弦長公式表示出|AB|²，根據(jù)|AB|的范圍，求得k的范圍．

解答：解：（1）設動點N（x，y），則M（-x，0），P（0，

y

2

）（x＞0），
∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

y 2

x

•

y 2

-1

=-1，
∴y²=4x（x＞0）即為所求．
（2）設直線l方程為y=kx+b，l與拋物線交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

OA

•

OB

=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y12•y2 2

16

+y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，
由

y2=4x y=kx+b

可得 ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂=

4b

k

=-8，b=-2k，
當△=16-16kb=16（1+2k²）＞0時，|AB|²=（1+

1

k2

）(y2 -y1)2=

1+k2

k2

•[(y2 +y1)2-4y₁•y₂]=

1+k2

k2

（

16

k2

+32）．
由題意，得16×6≤

1+k2

k2

•≤16×30，解得

1

4

≤k2≤1，
∴

1

2

≤k≤1，或-1≤k≤-

1

2

．
即所求k的取值范圍是[-1，-

1

2

]∪[

1

2

 1]．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個向量的數(shù)量的運算，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．