Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，點E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)，證出AD⊥AC，結(jié)合AE⊥AC，從而AC⊥平面ADE，進而得到AC⊥DE；
（2）過B點作BF⊥AC，垂足為F，利用線面垂直的判定與性質(zhì)證出BF⊥平面ACD，則BF的長為點B到平面ACD的距離，再在Rt△ABF中利用三角函數(shù)的定義，即可算出點B到平面ACD的距離．

解答：解：（I）∵DA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AD⊥AC，…（2分）
∵AE⊥AC，AE、AD是平面ADE內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，∴AC⊥DE．…（6分）
（II）過B點作AC的垂線，垂足為F，
∵DA⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴AD⊥BF
∵AC⊥BF，AC、AD是平面ACD內(nèi)的相交直線，
∴BF⊥平面ACD，
因此BF的長為點B到平面ACD的距離，
在Rt△ABF中，AB=2，∠BAF=180°-120°=60°，
∴BF=ABsin60°=2×

3

2

=

3

，即點B到平面ACD的距離為

3

．

點評：本題給出特殊三棱錐，求證線面垂直并求點到平面的距離．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．