Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-sin²（$\frac{π}{4}$-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）求函數(shù)y=f（x-$\frac{π}{8}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值以及取得最值時相應的x的值．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）寫出函數(shù)f（x-$\frac{π}{8}$）的解析式，計算x∈[0，$\frac{π}{2}$]時函數(shù)f（x-$\frac{π}{8}$）的取值范圍，即可求出f（x）的最值以及對應的x值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-sin²（$\frac{π}{4}$-x）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$•[1-cos（$\frac{π}{2}$-2x）]
=sin2x-$\frac{1}{2}$，
令2x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
得x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）由（1）得f（x-$\frac{π}{8}$）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
令2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=0時，f（x-$\frac{π}{8}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
令2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3π}{8}$時，f（x-$\frac{π}{8}$）取值最大值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題，是綜合性題目．