【題目】記 表示正整數(shù) 在十進制下的各位數(shù)碼之和.定義,證明:對任意的 ,存在無窮多個,,使得 .
【答案】見解析
【解析】
先證明兩個引理.
引理1 設(shè),有 .
引理1的證明 對任意,有.
設(shè),.
反復利用式①得
.
引理2 對任意,存在, ,滿足,,.
引理2的證明 取 ,則,.
由三進制表示的唯一性,知當(可重集合)時, .
于是,的每一位上的數(shù)碼最大為2.故,.
類似于前面的討論,中的每一位上的數(shù)字最大為6.從而,.
引理1、2得證.
下面用反證法證明原題.
假設(shè)只有有限個正整數(shù) 滿足條件.則存在一個,使得當 時, .
設(shè).則,,.
依次下去,知對任意,均有.
再取一個充分大的,使得 ,且 .
由引理2 ,知存在,滿足,,.
故由引理1知.
但,矛盾.
從而,對任意,存在無窮多個, ,使得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與二次曲線有4個不同的交點,由下面的草圖可以看出,下面三個結(jié)論是成立的,請給出證明.
(1).兩曲線的4個交點中,至少有兩個交點位于軸的下方;
(2).拋物線必與軸有兩個不同的交點,記為,,;
(3).兩曲線的4個交點中,必存在一點,使.
注.對、、的不同取值會有無數(shù)個圖形,此處僅就,各給出一個示意圖,同時也就限制“由圖看出”的解答.
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【題目】已知函數(shù),為實數(shù).
(1)當時,求的最小值;
(2)若存在實數(shù),使得對任意實數(shù)都有成立,求的取值范圍.
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【題目】從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù),試問:
①能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)?
②上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個?
③在①中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個?
④在①中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個?
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【題目】已知拋物線y2=2px的焦點為F,準線方程是x=﹣1.
(I)求此拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點M在此拋物線上,且|MF|=3,若O為坐標原點,求△OFM的面積.
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【題目】某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進行復審,若能通過復審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復審能通過的概率為,各專家評審的結(jié)果相互獨立.
(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;
(2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機變量X的分布列.
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【題目】下列命題正確的選項為( )
①平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;
②一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行;
③一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線垂直,則該直線與此平面垂直;
④一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
A.①②B.②③C.①④D.③④
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【題目】設(shè)、為平面上兩個點集,滿足,,且任意三點不共線.在集合和間各連若干條線段,每條線段均一個端點在集合中,另一個端點在集合中,且任意兩點間至多連一條線段,記所有線段構(gòu)成的集合為.若集合滿足對于集合或中任意一點均至少連出條線段,則稱集合是“一好的”.試確定的最大值,使得去掉任意一條線段,集合均不是一好的.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,滿足,,,且.若存在,使得成立,則實數(shù)的最小值為__________.
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