Question

設△ABC中的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB=

4

5

，b=2．
（Ⅰ）當a=

5

3

時，求角A的度數；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I） 由cosB=

4

5

 可求sinB=

3

5

 且B為銳角，由b=2，a=

5

3

考慮利用正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

可求sinA，結合三角形的大邊對大角且a＜b可知A＜B，從而可求A，
（II）由cosB=

4

5

，b=2利用余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB，把已知代入，結合a²+c²≥2ac可求ac的范圍，在代入三角形的面積公式S=

1

2

acsinB 可求△ABC面積的最大值．

解答：解：∵cosB=

4

5

∴sinB=

3

5

 且B為銳角
（I）∵b=2，a=

5

3

由正弦定理可得，

b

sinB

=

a

sinA

∴sinA=

asinB

b

=

5 3 × 3 5

2

=

1

2

∵a＜b∴A＜B
∴A=30°
（II）由cosB=

4

5

，b=2
利用余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB
∴4+

8

5

ac=a2+c2≥2ac
從而有ac≤10
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

10

ac≤3
∴△ABC面積的最大值為3

點評：本題（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大邊對大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面積公式綜合求解三角形的面積．考查的是對知識綜合運用．