Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x-a）e^x（x∈R），函數(shù)g（x）=bx-lnx，其中a∈R，b＜0．
（1）若函數(shù)g（x）在點（1，g（l））處的切線與直線x+2y-3=0垂直，求b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）若存在區(qū)間M，使得函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調性，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數(shù)，根據(jù)g′（1）=b-1，求出b的值即可；（2）求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出對應的函數(shù)的最小值即可；（3）分布根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍．

解答 解：（1）∵g（x）=bx-lnx，定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=b-$\frac{1}{x}$，∴g′（1）=b-1，
∵g（x）在點（1，g（l））處的切線與直線x+2y-3=0垂直，
∴g′（1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，即（b-1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，解得：b=3；
（2）∵f（x）=（x-a）e^x，∴f′（x）=（x-a+1）e^x，
分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，
得f（x）在（-∞，a-1）遞減，在（a-1，+∞）遞增，
a-1≤0，即a≤1時，f（x）在（0，1]遞增，
∴f（x）_min=f（0）=-a，
0＜a-1＜1，即1＜a＜2時，f（x）在[0，a-1]遞減，在[a-1，1]遞增，
∴f（x）_min=f（a-1）=-e^a-1，
a-1≥1，即a≥2時，f（x）在[0，1]遞減
∴f（x）_min=f（1）=（1-a）e，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-a，a≤1}\\{{-e}^{a-1}，1＜a＜2}\\{（1-a）e，a≥2}\end{array}\right.$；
（3）g′（x）=b-$\frac{1}{x}$，（b＜0，x＞0），
∴g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）遞減，
由（2）得，f（x）在（-∞，a-1）遞減，在（a-1，+∞）遞增，
∴a-1＞0，即a＞1時，f（x）和g（x）具有相同的遞減區(qū)間．
即函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調性時，a∈（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道綜合題．