已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與直線x-y+2
2
=0相切.
(1)求圓O的方程;
(2)過點(1,
3
3
)的直線l截圓所得弦長為2
3
,求直線l的方程;
(3)設(shè)圓O與x軸的負(fù)半軸的交點為A,過點A作兩條斜率分別為k1,k2的直線交圓O于B,C兩點,且k1k2=-2,試證明直線BC恒過一個定點,并求出該定點坐標(biāo).
分析:(1)由圓O與直線相切,得到圓心到切線的距離等于圓的半徑,列出關(guān)于r的方程,求出方程的解得到r的值,即可確定出圓的方程;
(2)分兩種情況考慮:當(dāng)直線l斜率不存在時,直線x=1滿足題意;當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)出直線方程,根據(jù)直線與圓相切,得到圓心到直線的距離d=r,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時直線l的方程,綜上,得到滿足題意直線l的方程;
(3)根據(jù)題意求出A的坐標(biāo),設(shè)出直線AB的解析式,與圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出兩根之積,將A的橫坐標(biāo)代入表示出B的橫坐標(biāo),進(jìn)而表示出B的縱坐標(biāo),確定出B坐標(biāo),由題中k1k2=-2,表示出C坐標(biāo),進(jìn)而表示出直線BC的解析式,即可確定出直線BC恒過一個定點,求出定點坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)∵圓O:x2+y2=r2(r>0)與直線x-y+2
2
=0相切,
∴圓心O到直線的距離d=
2
2
12+(-1)2
=2=r,
∴圓O的方程為x2+y2=4;   
(2)若直線l的斜率不存在,直線l為x=1,
此時直線l截圓所得弦長為2
3
,符合題意;
若直線l的斜率存在,設(shè)直線為y-
3
3
=k(x-1),即3kx-3y+
3
-3k=0,
由題意知,圓心到直線的距離為d=
|
3
-3k|
9k2+9
=1,解得:k=-
3
3
,
此時直線l為x+
3
y-2=0,
則所求的直線為x=1或x+
3
y-2=0;
(3)由題意知,A(-2,0),設(shè)直線AB:y=k1(x+2),
與圓方程聯(lián)立得:
y=k1(x+2)
x2+y2=4

消去y得:(1+k12)x2+4k12x+(4k12-4)=0,
∴xA•xB=
4k12-4
1+k12
,
∴xB=
2-2k12
1+k12
,yB=
4k1 
1+k12
,即B(
2-2k12
1+k12
4k1 
1+k12
),
∵k1k2=-2,用
-2
k1
代替k1得:C(
2k12-8
4+k12
,
-8k1 
4+k12
),
∴直線BC方程為y-
-8k1 
4+k12
=
4k1 
1+k12
-
-8k1 
4+k12
2-2k12
1+k12
-
2k12-8
4+k12
(x-
2k12-8
4+k12
),
即y-
-8k1 
4+k12
=
3k1
2-k12
(x-
2k12-8
4+k12
),
整理得:y=
3k1
2-k12
x+
2k1
2-k12
=
3k1
2-k12
(x+
2
3
),
則直線BC定點(-
2
3
,0).
點評:此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:韋達(dá)定理,直線的兩點式方程,點到直線的距離公式,以及恒過定點的直線方程,利用了分類討論的思想,是一道綜合性較強的試題.
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2
2
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3
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