Question

(22)如圖，雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點，

M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點，且.

 (Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設(shè)A(m，0)和B(，0)（0＜m＜1）是x軸上的兩點．過點A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點，作直線BC交雙曲線于另一點E．證明直線DE垂直于x軸．

Answer 1

本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理和運算能力.

    (Ⅰ)解：根據(jù)題設(shè)條件，F(xiàn)₁（-c,0）,F₂(c,0).設(shè)點M（x,y）.則x、y滿足

           

因e=,解得M(-),故

=

利用a²+b²=c²,得c²=,于是a²=1,b²=.因此，所求雙曲線方程為

x²-4y²=1.

(Ⅱ)解：設(shè)點C（x₁,y₁）,D(x₂,y₂),E(x₃,y₃),則直線l的方程為

                y=(x-m).

于是C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)兩點坐標(biāo)滿足

將①代入②得

（x₁²-2x₁m+m²-4y₁²）x²+8my₁²x-4y₁²m²-x₁²+2mx₁-m²=0.

由x²₁-4y²₁=1  (點C在雙曲線上)，上面方程可化簡為

（m²-2x₁m+1）x²+8my₁²x-(x₁²-2mx₁+m²x₁²)=0.

由已知，顯然m²-2x₁m+1≠0.于是x₁x₂=-.因為x₁≠0，得

x₂=

同理，C(x₁,y₁)、E(x₃,y₃)兩點坐標(biāo)滿足

可解得

x₃=

所以x₂=x₃,故直線DE垂直于x軸.