Question

已知：M={a|函數y=2sinax在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數解}，設D=M∩N，且定義在R上的奇函數f(x)=

x+n

x2+m

在D內沒有最小值，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先確定出集合MN的范圍，求出集合D的范圍．再根據f(x)=

x+n

x2+m

在D內沒有最小值，對函數的最小值進行研究，可先求其導數，利用導數研究出函數的單調性，確定出函數的最小值在區(qū)間D的左端點取到即可，由于直接研究有一定困難，可將函數變?yōu)閒（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，構造新函數h（x）=x+

m

x

，將研究原來函數沒有最小值的問題轉化為新函數沒有最大值的問題，利用導數工具易確定出新函數的最值，從而解出參數m的取值范圍．

解答：解：∵M={a|函數y=2sinax在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數，可得

T

2

≥

2π

3

且a＞0，即

2π

2a

≥

2π

3

，解得a≤

3

2

，故M={a|a≤

3

2

}
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數解}，所以可得N={b|1＜b≤2}
∴D=M∩N=（1，

3

2

]
∵f(x)=

x+n

x2+m

是定義在R上的奇函數
∴f（0）=0可得n=0
∴f（x）=

x

x2+m

，又f(x)=

x+n

x2+m

在D內沒有最小值
∴f（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，
若m≤0，可得函數f（x）在D上是減函數，函數在右端點

3

2

處取到最小值，不合題意
若m＞0，令h（x）=x+

m

x

，則f(x)=

x+n

x2+m

在D內沒有最小值可轉化為h（x）在D內沒有最大值，下對h（x）在D內的最大值進行研究：
由于h′（x）=1-

m

x2

，令h′（x）＞0，可解得x＞

m

，令h′（x）＜0，可解得x＜

m

，由此知，函數h（x）在（0，

m

）是減函數，在（

m

，+∞）上是增函數，
當

m

≥

3

2

時，即m≥

9

4

時，函數h（x）在D上是減函數，不存在最大值，符合題意
當

m

≤1時，即m≤1時，函數h（x）在D上是增函數，存在最大值h（

3

2

），不符合題意
當1＜

m

＜

3

2

時，即1＜m＜

9

4

時，函數h（x）在（1，

m

）是減函數，在（

m

，

3

2

）上是增函數，必有h（1）＞h（

3

2

）成立，才能滿足函數h（x）在D上沒有最大值，即有1+m＞

3

2

+

m

3 2

，解得m＞

3

2

，符合題意
綜上討論知，m的取值范圍是m＞

3

2

，
故答案為m＞

3

2

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，三角函數的周期求法及對三角函數圖象特征的理解，指數函數的值域及集合的運算．考查了轉化的思想及分類討論的思想，計算的能力，本題綜合性強涉及到的知識點較多，屬于綜合題中的難題．