Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈（0，1]，它的一個(gè)極值點(diǎn)是x=．
（Ⅰ） 求a的值及f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x+4-4x-a，試求函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（I）∵f′（x）=，
依題意得f'（）=0，解得a=2或a=．
當(dāng)a=2時(shí)，所以f（x）=，f（x）在區(qū)間（0，]單調(diào)減，在區(qū)間（，1]單調(diào)增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=1；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（）=0．
∴f（x）的值域[0，1]；
當(dāng)a=時(shí)，所以f（x）=，f（x）在區(qū)間（0，]單調(diào)減，在區(qū)間（，1]單調(diào)增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（）=．
∴f（x）的值域[，]；．…（6分）
（II）由（I）知，
當(dāng)a=2時(shí)，所以f（x）=，
∴討論函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程g（x）=f（x）根的個(gè)數(shù)．
函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，]單調(diào)減，在區(qū)間（，1]單調(diào)增，
此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2；
當(dāng)a=時(shí)，所以f（x）=，f（x）在區(qū)間（0，]單調(diào)減，在區(qū)間（，1]單調(diào)增，
函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，]單調(diào)減，在區(qū)間（，1]單調(diào)增，
此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，從而函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0．…（12分）
分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（）=0求出a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的極值點(diǎn)，代入原函數(shù)，求出值域即可；
（II）討論函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程g（x）=f（x）根的個(gè)數(shù)．畫(huà)出函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．