Question

f（x）=2cos²x-2acosx-1-2a的最小值為g（a），a∈R
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=

1

2

，求a及此時(shí)f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡，配方后，討論

a

2

的范圍確定g（a）的解析式，最后綜合即可．
（2）利用每個(gè)范圍段的解析式求得a的值，最后驗(yàn)證a即可．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-2acosx-1-2a=2（cosx-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1，
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，g（a）=-

a2

2

-2a-1，

a

2

＞1時(shí)，時(shí)g（a）=1-4a

a

2

＜-1時(shí)，g（a）=1，
綜合以上，g（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 1-4a，a＞2

；
（2）令1-4a=

1

2

求得a=

1

8

不符合題意，
令-

a2

2

-2a-1=

1

2

，求得a=-1或-3（舍去）
故f（x）的最大值為5，a的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)思想的運(yùn)用，分段函數(shù)等知識(shí)．考查了學(xué)生綜合素質(zhì)．