設(shè)f(x)=logag(x)(a>0且a≠1)
(1)若f(x)=log
1
2
(3x-1)
,且滿足f(x)>1,求x的取值范圍;
(2)若g(x)=ax2-x,是否存在a使得f(x)在區(qū)間[
1
2
,3]上是增函數(shù)?如果存在,說明a可以取哪些值;如果不存在,請說明理由.
(3)定義在[p,q]上的一個函數(shù)m(x),用分法T:p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q
將區(qū)間[p,q]任意劃分成n個小區(qū)間,如果存在一個常數(shù)M>0,使得不等式|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xi)-m(xi-1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|≤M恒成立,則稱函數(shù)m(x)為在[p,q]上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)f(x)=log4(4x2-x)是否為在[
1
2
,3]上的有界變差函數(shù)?若是,求M的最小值;若不是,請說明理由.
分析:(1)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(2)對a分類討論,利用二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(3)函數(shù)f(x)=log4(4x2-x)為[
1
2
,3]上的有界變差函數(shù).
由(2)知當a=4時函數(shù)f(x)為[
1
2
,3]上的單調(diào)遞增函數(shù),且對任意劃分T:
1
2
=x0x1<…<xi-1xi<…<xn=3
,有f(
1
2
)=f(x0)<f(x1)<…<f(xn-1)<f(xn)=f(3)
,即可得出
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|
=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(
1
2
)=log433-log4
1
2
=log466
解答:解:(1)f(x)=log
1
2
(3x-1)>1?log
1
2
(3x-1)>log
1
2
1
2
?
3x-1<
1
2
3x-1>0

解得
1
3
<x<
1
2

(2)當a>1時,
1
2a
1
2
g(
1
2
)=
1
4
a-
1
2
>0
⇒a>2

當0<a<1時,
1
2a
≥3
g(3)=9a-3>0
a≤
1
6
a>
1
3
,無解.
綜上所述,a>2.
(3)函數(shù)f(x)=log4(4x2-x)為[
1
2
,3]上的有界變差函數(shù).
由(2)知當a=4時函數(shù)f(x)為[
1
2
,3]上的單調(diào)遞增函數(shù),且對任意劃分T:
1
2
=x0x1<…<xi-1xi<…<xn=3
,有f(
1
2
)=f(x0)<f(x1)<…<f(xn-1)<f(xn)=f(3)
,
所以
n
i=1
|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)
=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(
1
2
)=log433-log4
1
2
=log466

∴存在常數(shù)M≥log466,使得
n
i=1
|f(xi)-f(xi-1)|≤M
恒成立,
∴M的最小值為log466.
點評:本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分類討論、新定義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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32
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32
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