Question

14．各項均為正數的等比數列{a_n}滿足a₂=3，a₄-2a₃=9，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（n+1）•log₃a_n+1，數列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$前n項和$T_n^{\;}$，在（1）的條件下，證明不等式T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列的定義，列出關于q的方程組，求出公比q，再求出首項，即可得到數列{a_n}的通項公式，
（2）根據對數的運算性質得到b_n=n（n+1），再根據裂項求和，再放縮即可證明．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，由$\left\{\begin{array}{l}{a_4}-2{a_3}=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}（{q^2}-2q）=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$，
解得q=3或q=-1，∵數列{a_n}為正項數列，∴q=3，
∴首項${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（2）證明：由（1）得${b_n}=（n+1）•{log_3}{a_{n+1}}=（n+1）{log_3}{3^n}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式和對數的運算性質，以及裂項求和，利用放縮法證明不等式，屬于中檔題