Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

1+x

的反函數(shù)為y=f^-1（x）
（1）數(shù)列{a_n}滿足f^-1（n）•a_n=3n，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）數(shù)列{b_n}中，b_n=2 an，證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求反函數(shù)可得f^-1（x）=

x

1-x

，代入已知可得a_n的式子，可判為等差數(shù)列，代入求和公式可得；
（2）由（1）知a_n=3-3n，可得b_n=2 an=2^3-3n，可得

bn+1

bn

為常數(shù)，即可證明．

解答： 解：（1）記f（x）=y=

x

1+x

，則可得x=

y

1-y

，
故可得y=f^-1（x）=

x

1-x

，f^-1（n）=

n

1-n

，
∵f^-1（n）•a_n=3n，∴a_n=

3n

f-1(n)

=3-3n
∴數(shù)列{a_n}是以0為首項，-3為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-

3

2

n2+

3

2

n
（2）由（1）知a_n=3-3n，
∴b_n=2 an=2^3-3n
∴

bn+1

bn

=

23-3(n+1)

23-3n

=2^-3=

1

8

∴數(shù)列{b_n}是

1

8

為公比的等比數(shù)列．

點評：本題考查反函數(shù)，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．