Question

若函數(shù)

logax，x≥1 (3a-1)x+4a，x＜1

為區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由條件知函數(shù)在x＜1時(shí)應(yīng)遞減，即y=（3a-1）x+4a遞減，故3a-1＜0，所以a＜

1

3

，
進(jìn)而y=log_ax在x≥1時(shí)遞減，只要再保證直線型函數(shù)y=（3a-1）x+4a在x=1時(shí)的函數(shù)值大于或等于y=log_ax在x=1時(shí)的函數(shù)值log_a1=0即可．

解答： 解：由條件知函數(shù)在x＜1時(shí)應(yīng)遞減，即y=（3a-1）x+4a遞減，故3a-1＜0，所以a＜

1

3

，
∴y=log_ax在x≥1時(shí)遞減，
∴y=log_ax在x≥1時(shí)的最大值為log_a1=0，
∴函數(shù)y=log_ax在x≥1時(shí)的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
要使整個(gè)函數(shù)遞減，只要使直線型函數(shù)y=（3a-1）x+4a在x=1時(shí)的函數(shù)值大于或等于0即可，
∴（3a-1）×1+4a≥0，
解得a≥

1

7

，又∵a＜

1

3

，
∴

1

7

≤a＜

1

3

故答案為：[

1

7

，

1

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題的解題技巧在于先由線型函數(shù)的單調(diào)性，得出a的大體范圍，再進(jìn)一步約束a的具體范圍．