Question

已知函數(shù)且a＞0
（Ⅰ）若曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與y=x平行，求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）若x∈（0，2]，求函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間（1，e²）上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解（Ⅰ）（2分）
依題意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）
當(dāng)時，f′（x）＜0，即f（x）在上單調(diào)遞減
當(dāng)時，f′（x）＞0，即f（x）在上單調(diào)遞增 （4分）
（1）當(dāng)，即時，
可知f（x）在（0，2]是減函數(shù)，
故 x=2時 f（x）_min=
（2）當(dāng)＜2，即a＞時，
可知f（x）在遞減，在遞增，故時 f（x）_min=．
綜上所述，當(dāng)時，f（x）_min=；a＞時，f（x）_min=．
（8分）
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
則
令h′（x）=0，得
由h′（x）＜0，得，所以h（x）的減區(qū)間；
由h′（x）＞0，得，所以h（x）的增區(qū)間．
所以當(dāng)，h（x）取極小值且．
f（x）與 g（x）的圖象在（1，e²）上
有兩個不同的交點等價于h（x）在（1，e²）上有兩個不同零點．
故只需，解得
故實數(shù)a的取值范圍是．（12分）
分析：（Ⅰ）曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與y=x平行，可求出此點處的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為1即可解出實數(shù)a的值；
（Ⅱ）可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在（0，2]的單調(diào)性，確定出函數(shù)f（x）的最小值，即可求出函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間（1，e²）上有兩個不同的交點，即h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0）有兩個零點，故可利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，找出函數(shù)h（x）有兩個零點的條件，由此條件解出實數(shù)a的取值范圍；
點評：本考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值、最值，考查了轉(zhuǎn)化的思想及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)最值的判斷方法，本題計算量大，易出錯，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)