Question

已知一個(gè)圓同時(shí)滿足下列條件：①與x軸相切；②圓心在直線3x-y=0上；③被直線l：x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

，則此圓的方程為

（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)圓心為C（a，3a），圓C被直線l截得的弦為AB，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD、BC．由垂徑定理和點(diǎn)到直線的距離公式，建立關(guān)于a的方程并解出a值，即可得到滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：當(dāng)圓心在直線3x-y=0上的第一象限部分時(shí)，設(shè)圓心為C（a，3a），其中a＞0，
∵圓C與x軸相切，∴C到x軸的距離等于半徑r，可得r=3a．
設(shè)直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)BC、CD，則CD⊥AB，
又∵圓C被直線l：x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

，
∴Rt△BCD中，|BC|=r=3a，|BD|=

7

可得|CD|=

|BC|2-|BD|2

=

9a2-7

．
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得|CD|=

|a-3a|

2

=

2

a，
∴

9a2-7

=

2

a，解之得a=1，
可得點(diǎn)C（1，3），半徑r=3，此時(shí)圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=9；
同理可得：當(dāng)圓心在直線3x-y=0上的第三象限部分時(shí)，圓C的方程為（x+1）²+（y+3）²=9．
綜上所述，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓滿足的條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．