已知橢圓的右頂點為，上頂點為，直線與橢圓交于不同的兩點，若是以為直徑的圓上的點，當變化時，點的縱坐標的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，是否存在，使得向量與共線？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

解：（1）由，

，圓心為

以EF為直徑的圓的方程為：                                                 2分

（當時取等）

令則

依題

橢圓C的方程為：                                                                              6分

（2），由消去y:

設,PQ的中點M

由點差法：

即①

M在直線上 ②

又，而與共線，可得//

  ③,

由①②③得，                                                                                            12分

這與矛盾，故不存在                                                    13分

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)模擬）已知橢圓的右頂點為A，離心率e=
12
，過左焦點F（-1，0）作直線l與橢圓交于點P，Q，直線AP，AQ分別與直線x=-4交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段MN為直徑的圓經過焦點F．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年江蘇蘇州市高三調研測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年江蘇蘇州市高三調研測試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年山東省菏澤市鄄城一中高三模擬沖刺數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右頂點為A，離心率，過左焦點F（-1，0）作直線l與橢圓交于點P，Q，直線AP，AQ分別與直線x=-4交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段MN為直徑的圓經過焦點F．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市東城區(qū)示范校高三（下）3月聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右頂點為A，離心率，過左焦點F（-1，0）作直線l與橢圓交于點P，Q，直線AP，AQ分別與直線x=-4交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段MN為直徑的圓經過焦點F．

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